5. MOS CAPACITOR의 Threshold

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Threshold Condition의 Energy Band Diagram

1. Threshold Condition이란?

Threshold를 영어사전에서 찾아보면 '문턱'이라는 뜻을 발견할 수 있을 겁니다. 한글로 그대로 풀어서 설명한다면, 이 상태가 어떤 것으로 가기 바로 전의 상태고, 이 상태만 넘는다면 무언가가 새로운 것이 될 수 있음을 의미합니다. 그렇다면 그 상태라는 어떤 상태를 이야기 하는 것일까요?

그 상태라는 것은 바로 '도체'가 되기 바로 직전의 상태입니다. Free Carrier의 관점에서 말씀을 드리면 Si과 Oxide의 Interface에 있는 Electron의 농도, 즉 표면에서의 Minority Carrier의 농도가 doped된 Acceptor의 농도와 동일해지는 시점입니다. 이를 수식으로 표현하면 "ns(Surface의 Electron Concentration) = Na(Doped Acceptor)"로 표현할 수 있습니다. Threshold 상태에서 게이트에 조금이라도 더 전압을 가하게 되면 Inversion 상태가 되어 반도체는 이윽고 도체의 성질을 띄고 Transistor로써 동작할 준비가 되게 됩니다.

2. 어떻게 확인할 수 있나?

위의 Energy Band Diagram의 Surface와 Bulk쪽을 보시면 됩니다. 기본적으로는 Surface와 Bulk쪽의 Fermi Energy, Intrinsic level, Valenced Band, Conduction Band의 관계를 확인하시면 됩니다. 앞서 말씀드렸던 것처럼 표면에서의 Minority Carrier의 농도가 Doped acceptor의 농도와 동일해지는 시점이라는 것을 고려하면 다음과 같은 두 가지의 관계가 성립합니다.

•  (Ec - Ef)surface = (Ef - Ev)bulk
•  (Ei -  Ef)bulk = (Ef - Ei)surface

위의 수식에서는 Surface와 bulk에서의 Electron과 Hole의 농도가 각각 같으니까 Threshold Condition이 된다고 이해하고 있습니다. 추가적으로 그림에 있는 ØB에 대해서 설명드리겠습니다.

'ØB' 라는 것은 Fermi Potential Energy라고 합니다. 위의 그림과 같은 값을 가지구요. 이 Fermi Potential Energy는 (Ei - Ef)bulk에서의 에너지 값을 보여주고 있습니다. 중요한 것은, Threshold Condtion이 되었을 때 Surface Potential Øs는 항상 2ØB가 됩니다.

3. 어떨 때 이런 일이 발생하는거지?

Gate 전극에 Surface Depletion 상태의 voltage보다 높은 전압을 가하는 경우 이런 일이 발생하게 됩니다.

Surafce Depletion에서 설명한 것과 마찬가지로 Gate에 전압을 가해서 Flat Band를 만든 상태에서 게이트에 추가로 전압을 가합니다. Flat Band 상태에서는 모든 Energy Band가 Flat했었는데, Gate에 전압을 더 가해서 Vox와 Øs라는 전압이 생겼습니다. 그렇기 때문에 게이트에 가해진 전압 Vg는 "Vg = Vfb + Vox + Øs = Vfb + Vox + 2ØB"로 표현이 됩니다. 이를 Capacitor적인 관점에서도 다시 한번 바라볼 수 있습니다.

다음과 같은 관점으로 볼 수 있습니다. Gate에 (+) 전압을 가해서 Hole이 Gate와 Oxide의 interface로 밀려나는 Charge 변화가 발생합니다. Body에는 (-) 전압에 밀려 (혹은 Gate의 (+) 전압에 끌려), Electron이 표현으로 모이기 시작합니다. 약간의 Ionzied accptor도 존재하구요. 즉, Oxide를 기준으로 Charge가 모여있는 구조를 띄고있기 때문에 Capacitor로 볼 수가 있게 되는 것입니다.

4. Energy Band Diagram을 그려보자.

위에서부터 차례대로 Charge Distribution , Electric Field Diagram , Potential Diagram입니다. X축은 실제 거리를 말합니다. Charge Distribution의 아래쪽에 Gate와 Oxide, Body를 구분해두었습니다. Charge Distribution을 보시면 Gate와 Oxide의 Interface에 Hole이 Delta function 형태로 밀집해있는 것을 확인할 수 있습니다.Oxide에는 charge가 전혀 존재하지 않는 상태입니다.

Body쪽을 보시면 약간 복잡하게 표현이 되어 있습니다. Oxide와 Body의 Interface에는 Electron(빨간색 선)이 약간 이상한 형태로 모여있습니다. 그리고 Ionized Acceptor는 처음에 doping된 농도와 동일한 Constant한 값을 가지며 분포합니다. 즉, Ionized Accetor의 영역이 끝나는 지점까지가 Depletion region입니다. 그림 왼쪽에 있는 식을 활용하면 Charge Distribution에서 Electric Field의 분포를 구할 수 있습니다.

(+)한 Delta function을 적분하면 (+)한 step function이 나오게 됩니다. Step function이 진행되다가 Electron과 ionized Acceptor같은 (-) Charge를 만나게 되면 Electric field값이 감소하게 됩니다. 여기서 주목할 점은 그림의 파란 점선으로 동그라미 친 부분입니다.Surface의 한 점에서 Field값이 2개가 존재합니다. 이는 SiO2와 Si, 즉 다른 물질이라 유전율이 달라서 이런 형태를 띄게 됩니다. E(Electric Field)는 not continuous지만, D( 유전율 x Electric Field)는 항상 Continuous한 관계를 만족 시킬 수 있습니다. 이렇게 (-) Charge를 계속 적분하게 된다면 Depletion Region이 끝나는 지점에서 Electric field는 '0'이 됩니다. 또 다시 왼쪽의 식을 활용하면 Electric field에서 Potential을 구할 수 있습니다. 저 같은 경우에는 Depletion Region이 끝나는 지점을 Ground로 잡아서 다음과 같은 Voltage Distribution을 구했습니다.

마지막으로 E(x) = constant - qV(x) 를 활용하면 Energy Band diagram의 분포를 구할 수 있습니다. 즉, 우리가 그린 Voltage Diagram에 (-)를 붙이는 작업을 하면 Energy Band diagram이 나오게 되는거죠. (-)를 붙인다는 의미는, X축을 대칭으로 그림을 그리면 됩니다. 여기에 추가적으로 SiO2와 Si의 Work function을 감안해서 그림을 그리면 아래와과 같은 그림이 나오게 됩니다. 여기까지가 Energy Band Diagram을 그리는 과정이었습니다.

5. 기타

Threshold Condition일 때, Substrate에 분포하는 Charge, Qsub는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

(Qdep = Ionized Acceptor / Qinv = Electron)

Thershold 상태가 ns = Na라고 할지라도 ns는 sheet라고 봐도 무방할만큼 굉장히 얇은 지역에 분포해있습니다. 그 반면에 Na는 굉장히 넓은 지역에 분포되어있지요. 그렇기 때문에 어떤 한 sheet에서는 ns = Na일지라도, 전체적으로 봤을 때는 Ionzied acceptor Na-가 굉장히 많기 때문에 Qinv은 무시해도 괜찮을만큼 상대적으로 작은 양을 가지게 됩니다. 따라서, 기판에 있는 Charge는 위의 식처럼 근사화 될 수 있습니다.

이번 포스팅은 여기까지이고, 이전에 적었던 글은 다음과 같습니다. 포스팅이 도움 되셨다면 좋아요♥ 부탁드립니다. 포스팅에 많은 힘이 됩니다. 

2018/07/24 - [Device Physics/MOS Capacitor] - 1. MOS Capacitor의 구조 / Device Physics

2018/07/24 - [Device Physics/MOS Capacitor] - 2. Equilibrium of MOS Capacitor / Device Physics

2019/07/18 - [Device Physics/MOS Capacitor] - 3. MOS CAPACITOR의 Flat Band

2019/07/18 - [Device Physics/MOS Capacitor] - 4. MOS CAPACITOR의 Surface Accumulation'